Hijos de Eva

12/8/2005

Número perfecto

Filed under: — Quintanar @ 9:04 am

Un número perfecto es un entero que es igual a la suma de los divisores positivos menores que él mismo. Así, 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.

El matemático griego Euclides descrubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula 2n−1(2n − 1):

n = 2: 21(22 – 1) = 6
n = 3: 22(23 – 1) = 28
n = 5: 24(25 – 1) = 496
n = 7: 26(27 – 1) = 8128

Al darse cuenta de que 2n – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n-1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.

Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 211 – 1 = 2047 = 23 · 89 no es primo. Por lo tanto, n = 11 no genera un número perfecto.

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