El método a seguir es análogo al que empleamos con la raíz cuadrada.
¿Cuántos dígitos tiene la raíz cúbica de 17580? Como 103=1000 y 1003 = 1000000, deducimos que son dos:
(10a+b)3 + r = 1000a3 + 300a2b + 30ab2 + b3 + r
Vemos que 17580 es aproximadamente 10003, esto es, a3 es aproximadamente 17, con lo que a vale 2.
Restando el valor de 1000 a3, nos queda
9580=300a2b + 30ab2 + b3 + r
Les propongo un reto difícil. Calcular el número de sudokus lícitos.
Como supongo que sabrán, un sudoku es un cuadrado de 9×9 casillas (puede ser de otro tamaño, pero consideraremos este, por ser el más habitual. Las casillas están agrupadas en nueve subcuadrados de 3×3. Pues bien; se deben rellenar las casillas con números del 1 al 9 de manera que no se repitan ni en las filas, ni en las columnas ni en los subcuadrados de 3×3.
Un número perfecto es un entero que es igual a la suma de los divisores positivos menores que él mismo. Así, 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.
El matemático griego Euclides descrubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula 2n−1(2n − 1):
n = 2: 21(22 – 1) = 6
n = 3: 22(23 – 1) = 28
n = 5: 24(25 – 1) = 496
n = 7: 26(27 – 1) = 8128
Al darse cuenta de que 2n – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n-1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.
Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 211 – 1 = 2047 = 23 · 89 no es primo. Por lo tanto, n = 11 no genera un número perfecto.
Se dice que un número M es un número primo de Mersenne si es primo y M+1 es una potencia de 2. Así, 7 es un primo de Mersenne (7 + 1 = 8 = 2^3, y 7 es primo), pero ni 13 (por no ser 14 una potencia de 2) ni 15 (por no ser un número primo) lo son. Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marin Mersenne quien en su Cognitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que sólo pudo refinarse tres siglos después.
Los números primos de Mersenne están íntimamente relacionados con los números perfectos. En efecto Euclides demostró que si M es un número primo de Mersenne, entonces M·(M+1)/2 es un número perfecto. Asímismo, Euler demostró en el En el siglo XVIII que todos los números perfectos pares son de la forma M·(M+1)/2. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no existe ninguno.
Los ocho primeros números primos de Mersenne son 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287 y 2147483647. En Wikisource puede consultarse una lista de los primeros 30 números primos de Mersenne con todos sus dígitos.
[De Wikipedia, la enciclopedia libre]
Los axiomas o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. Fueron establecidos por el matemático italiano Giuseppe Peano (1858–1932) en el siglo XIX.
Básicamente, los naturales se pueden construir a partir de cinco axiomas fundamentales:
1. 1 es un número natural. (es decir, el conjunto de los números naturales no es vacío)
2. Si a es un número natural, entonces a+1 también es un número natural (llamado el sucesor de a).
3. 1 no es sucesor de ningún número natural. (primer elemento del conjunto)
4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son diferentes entonces a y b son números naturales diferentes.
5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.
Este problemilla ha ido dando tumbos por diversos foros. La primera vez que me lo encontré fué en la revista Investigación y Ciencia hace bastantes años. El enunciado podría ser así:
Alguien elige dos números, no necesariamente distintos, en el conjunto de números naturales mayores que 1 y no mayores que 20. Al matemático Silas (S) se le da solamente la suma de estos números. Y al matemático Pedro(P) se le hace saber únicamente el producto.
Por teléfono S le dice a P : “No veo cómo vas a poder averiguar mi suma”. Una hora más tarde , P le dice a S : “Ya sé cuánto vale tu suma”.
Más tarde S llama otra vez a P y le informa : “ Ahora ya conozco tu producto”.
¿De qué números se trata?
Lo más bonito de este problema es que en el intercambio de preguntas entre ambos matemáticos se pasan mucha más información de la que parece a primera vista…
¿Les apetece pensarlo un poquito?
[Extraído de Tío Petros]
El principio del palomar establece que si n palomas se distribuyen en m palomares, y si n > m, entonces al menos habrá un palomar con más de una paloma. Otra forma de decirlo es que m huecos pueden albergar como mucho m objetos si cada uno de los objetos está en un hueco distinto, así que el hecho de añadir otro objeto fuerza a volver a utilizar alguno de los huecos.
El primer enunciado del principio se cree que proviene de Dirichlet en 1834 con el nombre de Schubfachprinzip («principio de los cajones»). A veces se conoce este enunciado como el principio de Dirichlet (pero no debe confundirse con el principio sobre funciones armónicas del mismo nombre).
Aunque el principio del palomar puede parecer una observación trivial, se puede utilizar para demostrar resultados inesperados. Por ejemplo, tiene que haber por lo menos dos personas en Madrid con el mismo número de pelos en la cabeza. Demostración: la cabeza de una persona tiene en torno a 150.000 cabellos. Es razonable suponer que nadie tiene más de un millón de pelos en la cabeza. Hay más de un millón de personas en Madrid. Si asignamos un palomar por cada número de 0 a 1.000.000, y asignamos una paloma a cada persona que irá al palomar correspondiente al número de pelos que tiene en la cabeza, al menos habrá dos personas con el mismo número de pelos en la cabeza.
«Con las matemáticas podemos predecir en cierto modo qué ocurrirá en el futuro»
Investido recientemente doctor honoris causa por la Universidad Politécnica de Madrid, el ingeniero Klaus-Jürgen Bathe, de 61 años, es admirado por ser uno de los padres del método de los Elementos Finitos, un complejo modelo matemático con ecuaciones de millones de variables que permite representar prácticamente cualquier sólido o fluido en un ordenador y simular cuál sería su comportamiento en la realidad. Con este tipo de modelos se puede predecir, por ejemplo, cómo respondería un determinado coche ante una colisión o qué ocurriría en la sonda Huygens durante su arriesgado descenso a la superficie de Titán; un trabajo éste último realizado precisamente por ingenieros de la Politécnica de Madrid y de EADS-CASA, para la Agencia Europea del Espacio.
Este brillante investigador de origen alemán asombró por primera vez a la comunidad científica hace 30 años con la presentación en la Universidad de Berkeley de su tesis doctoral Cálculo dinámico de modelos con muchísimos grados de libertad basándose en el método de iteración por subespacios y hoy es uno de los 300 investigadores más citados del mundo. Hoy, imparte clases en el Instituto Tecnológico de Massachussets (MIT) y aún tiene tiempo para cuadrar los números de su exitosa empresa de programas informáticos.
A un congreso sobre creacionismo científico asisten 1.400 personas.
Al terminar el mismo, se pasa a firmar un documento en el que se aboga por la supresión de la teoría de la evolución en las escuelas españolas. El 12,1212…% de los firmantes creen que los fósiles los ha puesto el demonio para despistar; y el 23,423423…% creen que Dios hizo el mundo en seis días.
La pregunta es:
¿Cuál es el porcentaje de asistentes que tenían un mínimo de conocimientos científicos?
En teoría de juegos, se define el equilibrio de Nash (formulado por John Forbes Nash) como un modo de obtener una estrategia óptima para juegos que involucren a dos o más jugadores. Si hay un conjunto de estrategias tal que ningún jugador se beneficia cambiando su estrategia mientras los otros no cambien la suya, entonces ese conjunto de estrategias y las ganancias correspondientes constituyen un equilibrio de Nash.
El concepto de equilibrio de Nash apareció por primera vez en su disertación Non-cooperative games (1950). John Forbes Nash demostró que las distintas soluciones que habían sido propuestas anteriormente para juegos tienen la propiedad de producir un equilibrio de Nash.
Un juego puede no tener equilibrio de Nash, o tener más de uno. Nash fue capaz de demostrar que si permitimos estrategias mixtas (en las que los jugadores pueden escoger estrategias al azar con una probabilidad predefinida), entonces todos los juegos de n jugadores en los que cada jugador puede escoger entre un número finito de estrategias tienen al menos un equilibrio de Nash con estrategias mixtas.
Si un juego tiene un único equilibrio de Nash y los jugadores son completamente racionales, los jugadores escogerán las estrategias que forman el equilibrio.
Dos números primos (p,q) son números primos gemelos si están separados por una distancia de 2, es decir, si q=p+2.
Los primeros números primos gemelos son:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).
No se sabe si existen infinitos números primos gemelos, aunque se cree ampliamente que sí. Éste es el contenido de la conjetura de los números primos gemelos. Una forma fuerte de la conjetura de los números primos gemelos, la conjetura de Hardy-Littlewood, postula una ley de distribución de los números primos gemelos similar al teorema de los números primos.
Se trata de un tipo de número irracional que no proviene de una simple relación algebraica sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Un número es trascendente (o trascendental) si no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes racionales. En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico.
El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente.
El conjunto de números algebráicos es contable, mientras el conjunto de números reales es incontable; por lo tanto, el conjunto de números transcendentes es también incontable, entonces es verdad que hay muchos más números transcendentes que algebráicos. Sin embargo, existen muy pocos números transcendentes conocidos, y demostrar que un número es transcendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler Γ lo es, Γ siendo:
, cuando 
Un póster de Pi con 350.000+ dígitos, disponible en PDF por si te lo quieres imprimir gigante para la pared y también en código fuente: pi por si quieres calcularlos tu mismo. Existe otro parecido en forma de Camiseta Pi en ThinkGeek (¡gran tienda!)
Pregunta muy geek: ¿Cuántos dígitos de Pi puedes recitar de memoria? ¿Y de e?
[Extraído de Microsiervos]
Tras visitar La Indoblable Página de Bender Bending Rodríguez, a nadie le extraña que en la plantilla de Futurama puedan encontrarse varios titulados universitarios de Ciencias (por ejemplo, J. Stewart Burns: licenciado en Matemáticas por la Universidad de Harvard y Máster en Matemáticas por U.C. Berkeley, productor y guionista de la serie). En su sección de Matemáticas, esta web recoge las impagables curiosidades matemáticas de Futurama que han ido apareciendo en la serie desde el primer capítulo.
La paradoja de Newcomb es el estudio de un juego entre dos jugadores, uno de los cuales puede predecir el futuro.
Se considera una paradoja porque lleva a una autocontradicción. La causalidad inversa está definida en el problema, por lo que no puede haber libre albedrío. Al mismo tiempo, el libre albedrío está definido en el problema, de otro modo, el jugador no estaría realizando un verdadera elección. Fue formulada por William Newcomb, del laboratorio «Lawrence Livermore» en la Universidad de California. Robert Nozick la dio a conocer a la comunidad filosófica en 1969, y apareció en la columna de Martin Gardner en Scientific American en 1974.
En este juego hay dos participantes: un oráculo capaz de predecir el futuro y un jugador normal. Al jugador se le presentan dos cajas: una abierta que contiene $1000 y una cerrada que contiene, o $1.000.000 o $0. El jugador debe decidir si quiere recibir el contenido de ambas cajas o sólo el de la caja cerrada.
La complicación consiste en que anteriormente, el oráculo ha vaticinado lo que va a escoger el jugador. Si vaticina que el jugador se llevará sólo la caja cerrada, pondrá $1.000.000 dentro de esa caja. Si vaticina que el jugador se llevará las dos cajas, dejará vacía la caja cerrada. El jugador conoce el mecanismo del juego, pero no la predicción, que ya ha sido realizada.
¿Debería el jugador llevarse ambas cajas o sólo la cerrada?
La paradoja de Galileo es una demostración de una de las sorprendentes propiedades de los conjuntos infinitos. El carácter paradójico se da por poner en entredicho el principio de que el todo es mayor que sus partes.
En su último trabajo científico, Two New Sciences, Galileo Galilei hizo dos afirmaciones aparentemente contradictorias acerca de los números enteros positivos. Primero, algunos números tienen la propiedad de ser un cuadrado perfecto (esto es, el cuadrado de un entero, desde ahora llamado simplemente cuadrado), mientras que otros no la tienen. Por ello, el conjunto de todos los números, incluyendo tanto a los cuadrados como a los no cuadrados, tiene que ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número que es su raíz cuadrada, y por cada número hay exactamente un cuadrado. Por lo tanto, no puede haber más de un tipo que de otro. Este es uno de los primeros usos, aunque no el primero, de demostración a través de una función biyectiva.
Galileo llegó a la conclusión de que los conceptos de menor, igual y mayor sólo se aplicaban a conjuntos finitos, y no tenían sentido aplicados a conjuntos infinitos. En el siglo XIX, Cantor, usando los mismos métodos, demostró que a pesar de que el resultado de Galileo era correcto si se aplicaba a los números enteros, o incluso a los racionales, la conclusión general no era cierta: algunos conjuntos infinitos son mayores que otros, en el sentido en el que no se pueden relacionar en una correspondencia uno-a-uno.
[De Wikipedia, la enciclopedia libre]
La paradoja del cumpleaños establece que si hay 23 personas reunidas hay una probablidad del 50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día. Para 60 o más personas la probabilidad es mayor del 99%. Obviamente es del 100% para 366 personas (teniendo en cuenta los años bisiestos). En sentido estricto esto no es una paradoja ya que no es una contradicción lógica; es una paradoja en el sentido que es una verdad matemática que contradice la común intuición. Lo normal es pensar que la probabilidad es mucho más baja, y que hacen falta muchas más personas para que se alcance la probabilidad del 50%.
Calcular esta probabilidad es el problema del cumpleaños. La teoria fue descrita en American Mathematical Monthly en 1938 en la teoria de Estimación del total de población de peces en un lago de Zoe Emily Schnabel, bajo el nombre de captura-recaptura estadística.
La clave para entender la paradoja del cumpleaños es pensar que hay muchas posibilidades de pares de personas que cumplen años el mismo día. Específicamente, entre 23 personas, hay 23×22/2 = 253 pares, cada uno de ellos un candidato potencial para cumplir la paradoja. Hay que entender que: si usted entrase en una habitación con 22 personas, la probabilidad de que cualquiera cumpla años el mismo día que usted, no es del 50%, es mucho más baja. Esto es debido a que ahora sólo hay 22 pares posibles. El problema real de la paradoja del cumpleaños consiste en preguntar si el cumpleaños de cualquiera de las 23 personas coincide con el cumpleaños de alguna de las otras personas.
La Paradoja de Epiménides es una paradoja, relacionada con la filosofía y la lógica. Es una paradoja falsídica, ya que aparenta autocontradecirse si se sigue un razonamiento, pero se puede mostrar que dicho razonamiento no es correcto.
Epiménides era un legendario poeta filósofo del siglo VI adC a quien se le atribuye estar dormido durante cincuenta y siete años aunque Plutarco afirma que solo fueron cincuenta. Se atribuye a Epiménides haber afirmado:
Todos los Cretenses son unos mentirosos.
Sabiendo que él mismo era Cretense, ¿decía Epiménides la verdad?
El Cuerno de Gabriel (también llamado Trompeta de Torricelli) es una figura ideada por Evangelista Torricelli que tiene la característica de poseer una superficie infinita pero un volumen finito.
El cuerno de Gabriel se forma utilizando la gráfica de y=1/x, con el rango x>=1 (para evitar la asíntota en x = 0), y rotandola en tres dimensiones alrededor del eje X. Su descubrimiento es anterior al cálculo, pero es fácil de verificar integrando 2π/x y π/(x^2). Si se considera la parte del cuerno entre x = 1 y x = a, el área de la superficie es 2πln(a) y el volumen π(1-1/a). Cuando a aumenta, el área no está acotada, mientras que el volumen tiene una cota superior de π.
En el momento de su descubrimiento, fue considerado una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior, mientras que sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie.
La teoría de juegos se usa para analizar comportamientos estratégicos donde hay dependencia mutua, es decir, donde hay que tener en cuenta el posible comportamiento de otros. Un ejemplo es el famoso “dilema del prisionero”, que suele atribuirse a A. W. Tucker (profesor de Nash). No es el único posible modelo de «dilema», pero es el que despierta más fascinación.
Dos sospechosos son detenidos en cercanías del lugar de un crimen y la policía comienza aplicar las técnicas de interrogatorio por separado. Cada uno de ellos tiene la posibilidad de elegir entre confesar acusando a su compañero, o de no hacerlo. Existen por tanto cuatro posibilidades, que se pueden reflejar en una tabla de alternativas: que ninguno defraude, que lo hagan los dos, que lo haga el primero o el segundo.
Si ninguno de ellos confiesa, entonces ambos pasarán un año en prisión. Si ambos confiesan y se acusan mutuamente, los dos irán a prisión por 10 años cada uno, pero si sólo uno confiesa y acusa a su compañero al implicado le caerán 20 años y el acusador saldrá libre por colaborar.
Ya que las decisiones son independientes, y dado que el objetivo de cada uno es lograr el máximo beneficio personal (aparentemente), lo racional es defraudar. Pero si los dos se comportan racionalmente, ambos recibirán un castigo diez veces superior a que si no lo hicieran…
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