Hijos de Eva

23/2/2005

Mil interruptores y 999 fusilados

Filed under: — Quintanar @ 11:18 pm

Retomamos el tema matemático en el blog con dos acertijos para hacer boca.

Hemos hablado bastante de combinatoria, definiéndola como el arte o la técnica de contar. Así dicho parece una sosada, pero resulta que contar objetos puede ser verdaderamente difícil. Como siempre, el conjunto N nos sorprende por su hondura y dificultad. El ser humano seguramente está capacitado para comprender todos los secretos físicos del universo, pero no lo está para responder a todas las preguntas que N nos plantea.

Así dicho puede parecer una exageración pero no lo es. Es fácil comprender que el conjunto de preguntas independientes relativas a N es infinito (numerable pero infinito), de manera que simplemente no tendremos tiempo para responderlas a todas.

Contar viene a ser equivalente a averiguar el cardinal de un subconjunto de N. Cuando es difícil hacerlo directamente y no conocemos otro atajo mejor, suele ser una buena idea preguntarse por la forma que deben tener los elementos de este subconjunto a medir.

Algo así ocurre con estos dos problemas. El primero es de conteo, y el segundo nos pide el puesto de un elemento distinguido de un conjunto ordenado.

Problema uno:

Tenemos mil interruptores numerados del 1 al 1000, todos ellos en posición de apagado. Mil operarios, también numerados, pasar por ellos uno tras otro, de manera que el operario n sólo actúa sobre los interruptores múltiplos de n.
Actuar sobre un interruptor significa encenderlo si estaba apagado o apagarlo si estaba encendido. ¿Cuántos interruptores quedan encendidos al final?

Problema dos:

Estamos en un grupo de mil personas que van a ser fusiladas por un procedimiento curioso: puestas en fila, el ejecutor volará la tapa de los sesos de uno de cada dos reos, empezando por el primero. Reagrupados los supervivientes y manteniendo el orden, volverá a ejecutar a uno de cada dos empezando por el primero, y así sucesivamente hasta que sólo quede uno. Qué puesto de la fila elegiria el lector?

Como siempre, lo de menos es la respuesta. Lo que importa es el método.

[Extraído de Tío Petros]

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