Hijos de Eva

12/8/2005

Número perfecto

Filed under: — Quintanar @ 9:04 am

Un número perfecto es un entero que es igual a la suma de los divisores positivos menores que él mismo. Así, 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Los siguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.

El matemático griego Euclides descrubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula 2n−1(2n − 1):

n = 2: 21(22 – 1) = 6
n = 3: 22(23 – 1) = 28
n = 5: 24(25 – 1) = 496
n = 7: 26(27 – 1) = 8128

Al darse cuenta de que 2n – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n-1(2n – 1) genera un número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.

Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto número primo. Sin embargo, 211 – 1 = 2047 = 23 · 89 no es primo. Por lo tanto, n = 11 no genera un número perfecto.

Dos de las otras suposiciones equivocadas eran:

– El quinto número perfecto tendría cinco dígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.
– Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 y en 8.

El quinto número perfecto (33550336) tiene 8 dígitos, falseando así la primera suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8589869056) termina en 6. No es difícil demostrar que la última cifra de un número perfecto expresado en base 10 es siempre 6 u 8.

Es verdad que si n es un número primo, entonces 2n−1(2n − 1) es un número perfecto, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula 2n – 1 se los conoce como números primos de Mersenne, en honor al monje del siglo XVII Marin Mersenne. Posteriormente, Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares se generan a partir de la fórmula que ya descubrió Euclides.

No se conoce la existencia de números perfectos impares. Sin embargo, existen algunos resultados parciales. Si existe un número perfecto impar debe ser mayor que 10300, debe tener al menos 8 factores primos distintos (y al menos 11 si no es divisible por 3). Uno de esos factores debe ser mayor que 107, dos de ellos deben ser mayores que 10.000 y tres factores deben ser mayores que 100.

[De Wikipedia, la enciclopedia libre]

Tenemos 7 comentarios para “Número perfecto”

  1. nauj27:

    Qué curioso 🙂

  2. ramon:

    los felicito es una buena pagina……..

  3. Camila Chaldú:

    A mi me gustaría que me manden información más precisa a mi mail, con todos los numeros perfectos y sus divisores proporcionandolos en numeros naturales exactos, depende el número, atentamente(camila chaldu duhalde)

  4. ORION:

    sabian que si suman cualquier numero perfecto hasta llegara un solo numero el numero siempre sera 1 y algo mas para saber si un numero es perfecto basta con restarle 4 ysi es divisor de 6 es perfecto

  5. ORION:

    los numeros triangulares se pueden hallar segun su orden y su numero la formula n/2-1 ,hallando un numero cuadrado ,solobasta buscar su numero ,siendo “N” cualquier numero positivo

  6. cokliuz:

    para hallar el primer numero perfecto se halla asy

    n(n-1)/2

    ejemplo: 1 7 (21 ) 35 35 21 7 1

  7. Jesús Malia:

    Hola, Camila:
    en el artículo de wikipedia ‘Número primo de Mersenne’ encuentras lo que buscas.
    Saludos.

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