Hijos de Eva

10/6/2005

Número trascendente

Filed under: — Quintanar @ 9:37 am

Se trata de un tipo de número irracional que no proviene de una simple relación algebraica sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Un número es trascendente (o trascendental) si no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes racionales. En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico.

El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente.

El conjunto de números algebráicos es contable, mientras el conjunto de números reales es incontable; por lo tanto, el conjunto de números transcendentes es también incontable, entonces es verdad que hay muchos más números transcendentes que algebráicos. Sin embargo, existen muy pocos números transcendentes conocidos, y demostrar que un número es transcendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler Γ lo es, Γ siendo:

, cuando

La existencia de los números trascendentes fue probada en 1844 por Joseph Liouville, quien mostró ejemplos, entre ellos la Constante de Liouville:

donde el n-ésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) y 0 en cualquier otro caso. El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que π es trascendente. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.

Algunos de los números transcendentes más comunes son:

e

π

Constante de Liouville.

– sen(1)

– ln(a) si a es positivo, racional y != 1.

y (véase función Gamma).

– Ω, Constante de Chaitin.

, donde es la función parte entera. Por ejemplo, si β = 2 el número resultante es 0,1010001000000010000000000000001000…

o, de forma más general, a^b donde a != 0,1 es algebraico y b es algebraico pero irracional. El caso general del séptimo problema de Hilbert, es decir, la determinación de si a^b es trascendental cuando a != 0,1 es algebraico y b es irracional, sigue abierto.

[De Wikipedia, la enciclopedia libre]

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