Hijos de Eva

6/5/2005

Paradoja del cumpleaños

Filed under: — Quintanar @ 10:26 pm

La paradoja del cumpleaños establece que si hay 23 personas reunidas hay una probablidad del 50,7% de que al menos dos personas de ellas cumplan años el mismo día. Para 60 o más personas la probabilidad es mayor del 99%. Obviamente es del 100% para 366 personas (teniendo en cuenta los años bisiestos). En sentido estricto esto no es una paradoja ya que no es una contradicción lógica; es una paradoja en el sentido que es una verdad matemática que contradice la común intuición. Lo normal es pensar que la probabilidad es mucho más baja, y que hacen falta muchas más personas para que se alcance la probabilidad del 50%.

Calcular esta probabilidad es el problema del cumpleaños. La teoria fue descrita en American Mathematical Monthly en 1938 en la teoria de Estimación del total de población de peces en un lago de Zoe Emily Schnabel, bajo el nombre de captura-recaptura estadística.

La clave para entender la paradoja del cumpleaños es pensar que hay muchas posibilidades de pares de personas que cumplen años el mismo día. Específicamente, entre 23 personas, hay 23×22/2 = 253 pares, cada uno de ellos un candidato potencial para cumplir la paradoja. Hay que entender que: si usted entrase en una habitación con 22 personas, la probabilidad de que cualquiera cumpla años el mismo día que usted, no es del 50%, es mucho más baja. Esto es debido a que ahora sólo hay 22 pares posibles. El problema real de la paradoja del cumpleaños consiste en preguntar si el cumpleaños de cualquiera de las 23 personas coincide con el cumpleaños de alguna de las otras personas.

Para calcular la probabilidad aproximada que en una habitación de n personas, que al menos dos cumplan años el mismo día, desechando los años bisiestos y los gemelos, y asumimos que existen 365 cumpleaños que tienen la misma probabilidad. El truco es calcular primero la probabilidad de n cumpleaños son diferentes. Esta probabilidad es dada por

porque la segunda personas no puede tener el mismo cumpleaños que el primero (364/365), la tercera personas no puede tener el mismo cumpleaños que las dos primeras (363/365), etc. Usando notación factorial, puede ser escrita como

para n ≤ 365, y 0 para n > 365.

Ahora, 1 – p es la probabilidad que al menos dos personas tengan el mismo día de cumpleaños. Para n = 23 se obtiene una probabilidad de alrededor de 0,507.

En contraste, la probabilidad que cualquiera en una habitación de n personas tengan el mismo día de cumpleaños que usted está dada por

que para n = 22 sólo da alrededor de 0,059, y se necesitaría al menos una n de 253 para dar un valor de 0,5.

[De Wikipedia, la enciclopedia libre]

Tenemos 3 comentarios para “Paradoja del cumpleaños”

  1. antonio de los santos:

    a mi no me cuadra de ninguna de las maneras, y a pesar de ser un profano en la materia no dejo de darle vueltas a la cabeza y no me sale mas que la probabilidad de que dos personas en un mismo grupo tengan el mismo cumpleaños es de el numero de personas multiplicados por 100 y dividido por la posibilidad de que sea el 100% esto es 366 (como vereis es una regla de tres simple), con todo esto la posibilidad de que haya al menos dos personas que cumplan años en al mismo dia en un grupo de 23 es del 6,28 %

  2. evangelina santos:

    Dice un amigo mio que si leyésemos no cometeríamos tantos errores. Nos pasa a todos de vez en cuando, pero fíjate:
    “Hay que entender que: si usted entrase en una habitación con 22 personas, la probabilidad de que cualquiera cumpla años el mismo día que usted, no es del 50%, es mucho más baja. Esto es debido a que ahora sólo hay 22 pares posibles. ”
    (entonces sería correcta tu forma de hacer la cuenta, 22x(1/366))
    “El problema real de la paradoja del cumpleaños consiste en preguntar si el cumpleaños de cualquiera de las 23 personas coincide con el cumpleaños de alguna de las otras personas.”
    (entonces 1/366 debe ser multiplicado por todas las posibles parejas, lo que también viene explicado en el artículo).

  3. Adolfo:

    Vease a John Allen Paulos, lo explica muy claramente.

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