Hijos de Eva

18/3/2005

Paradojas de Zenón

Filed under: — Quintanar @ 11:42 pm

Son una serie de paradojas, ideadas por Zenón de Elea, para apoyar la doctrina de Parménides de que las sensaciones que obtenemos del mundo son ilusorias, y concretamente, que no existe el movimiento.

Pertenecen a la categoría de paradojas falsídicas, esto es, que no sólo alcanzan un resultado que aparenta ser falso, sino que además lo es. Ésto se debe a una falacia en el razonamiento, producido por la falta de conocimientos sobre el concepto de infinito en la época en la que fueron formuladas.

Aquiles y la tortuga:
Aquiles el guerrero decide competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante suyo.

Actualmente, se conoce que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga, ya que una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que le separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños, y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga.

El lanzamiento de una piedra contra un árbol:
Esta paradoja es una variante de la anterior. Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que le separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardara un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro… De este modo, la piedra nunca llegará al árbol.

Es posible utilizar este razonamiento, de forma análoga, para «demostrar» que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón.

Al igual que en la paradoja de Aquiles y la tortuga, es cierto que la suma de distancias recorridas, (y tiempos invertidos en hacerlo) es infinita, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol.

La paradoja de la piedra puede ser planteada matematicamente usando series infinitas. Las series infinitas son sumatorias cuyo termino variante (que solo puede tomar valores pertenecientes al conjunto de numeros naturales) va hasta el infinito. Para tener una idea de que es una serie, muestro un par de series sencillas y luego planteo la paradoja de Zenon con una serie un poco mas compleja.

Para sumar todos los numeros desde 1 a infinito

Ahora, para plantear la paradoja de la piedra uno hace una serie que sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad y así, hasta el infinito, de los cuadrados de todos los números desde 1 a infinito.

Bueno, como la serie que se plantea para la paradoja de la piedra es una serie geometrica, su suma puede ser calculada con la siguiente formula:

En la sumatoria de la paradoja de Zenon, «a» es 1/2 y r, es la razon de incremento incremento (producto), que es 1/2. Sustituyendo esos valores en mi formula de suma tengo:

Entonces veo que que la suma de la mitad de «algo» mas la mitad de la mitad de «algo» y asi sucesivamente me da 1 «algo» completo. Para la paradoja es lo mismo, la mitad de la distancia, mas la mitad de la mitad de la distancia y asi sucesivamente me da la distancia entera. Por lo tanto puedo concluir que, recorriendo infinitas mitades puedo recorrer toda la distancia.

La paradoja de la flecha:
En esta paradoja, se lanza una flecha. En cada momento en el tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo que está en reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo: el movimiento es imposible.

Un modo de resolverlo es observar que, a pesar de que en cada instante la flecha se percibe como en reposo, estar en reposo es un término relativo. No se puede juzgar, observando sólo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, si lo comparamos con otros instantes, la flecha está en distinta posición de la que estaba antes y en la que estará después. Por tanto, la flecha se está moviendo.

[De Wikipedia, la enciclopedia libre]

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