Hijos de Eva

20/2/2005

Problema de Monty Hall

Filed under: — Quintanar @ 10:04 pm

El Problema de Monty Hall es un problema de probabilidad que está inspirado por el concurso televisivo estadounidense Let’s Make a Deal. Su nombre proviene del nombre del presentador, Monty Hall. En este concurso, el concursante escoge una puerta entre tres, y su premio consiste en lo que se encuentra detrás. Una de ellas oculta un coche, y tras las otras dos hay una cabra. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador abre una de las otras puertas y muestra que detrás de ella hay una cabra. ¿Debe el concursante mantener su elección original o escoger la otra puerta? ¿Hay alguna diferencia?

Esa pregunta ha generado un intenso debate. Como la respuesta correcta parece contradecir conceptos básicos de probabilidad, se puede considerar como una paradoja. La respuesta se basa en suposiciones que no son obvias y que no se encuentran expresadas en el plantemiento del problema, por lo que también puede considerarse una pregunta con trampa.

A continuación se expone el enunciado más famoso del problema, de una carta de Craig F. Whitaker a la columna de Marilyn vos Savant en Parade Magazine en 1990 (como la citan Bohl, Liberatore, y Nydick).

Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la nº1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la nº3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: «¿No prefieres escoger la nº2?». ¿Es mejor para tí cambiar tu elección?

Éste es una nueva formulación del problema proporcionado por Steve Selvin en una carta a American Statistician (febrero, 1975). Como se ha dicho anteriormente, el problema está inspirado en el concurso televisivo, a pesar de que los concursantes de Let’s Make a Deal no tenían opción de cambiar su elección. Como Monty Hall contestó a Selvin [1] ,

Y si alguna vez vas a mi programa, las reglas también se aplican a ti — no se permite cambiar de caja después de realizar tu elección.

En la carta posterior de Selvin a American Statistician (Agosto, 1975) aparece la que parece ser la primera mención del término «problema de Monty Hall».

Un problema análogo denominado «problema de los tres prisioneros», apareció en la columna Mathematical Games, de Martin Gardner, en 1959. La versión de Gardner hace el proceso de elección explícito, evitando las suposiciones de la versión original. El enunciado completo es el que sigue.

Se ofrece un concurso cuya mecánica es la siguiente:

– Al concursante se le ofrece la posibilidad de escoger entre tres puertas. Tras una de ellas se encuentra un coche, y tras las otras dos hay una cabra. El concursante gana el premio que se oculta detrás de la puerta que escoja.
– Después de que el concursante escoja una puerta, el presentador abre una de las otras dos puertas, mostrando una cabra. Siempre puede hacerlo ya que incluso si el concursante ha escogido una cabra, queda otra entre las puertas que ha descartado.
– Entonces, ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección y escoger la otra puerta que descartó originalmente, que continúa cerrada.

La pregunta es: ¿debe hacerlo o no?

Advertencia: Si no quieres conocer detalles relevantes del argumento, no sigas leyendo.

La solución:

Esta solución se basa en tres suposiciones básicas: que el presentador siempre abre una puerta, que la escoge entre las restantes después de que el concursante escoja la suya, y que tras ella siempre hay una cabra. Estas suposiciones no se encuentran explicitamente en el enunciado.

La probabilidad de que el concursante escoja en su primera oportunidad la puerta que oculta el coche es de 1/3, por lo que la probabilidad de que el coche se encuentre en una de las puertas que no ha escogido es de 2/3.

¿Qué cambia cuando el presentador muestra una cabra tras una de las otras dos puertas?

Una suposición errónea es que, una vez sólo queden dos puertas, ambas tienen la misma probabilidad (un 50%) de contener el coche. Es errónea ya que el presentador abre la puerta después de la elección de jugador. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador.

Si el jugador escoge en su primera opción la puerta que contiene el coche (con una probabilidad de 1/3), entonces el presentador puede abrir cualquiera de las dos puertas. Además, el jugador pierde el coche si cambia cuando se le ofrece la oportunidad.

Pero, si el jugador escoge una cabra en su primera opción (con una probabilidad de 2/3), el presentador sólo tiene la opción de abrir una puerta, y esta es la única puerta restante que contiene una cabra. En ese caso, la puerta restante tiene que contener el coche, por lo que cambiando lo gana.

En resumen, si mantiene su elección original gana si escogió originalmente el coche (con probabilidad de 1/3), mientras que si cambia, gana si escogió originalmente una de las dos cabras (con probabilidad de 2/3). Por lo tanto, el concursante debe cambiar siempre su elección.

¿Por qué sucede ésto?

Porque lo que muestra el presentador no afecta a tu elección original, sino sólo a la otra puerta no escogida. Una vez se abre una puerta y se muestra la cabra, esa puerta tiene una probabilidad de 0 de contener un coche, por lo que deja de tenerse en cuenta. Si el conjunto de dos puertas tenía una probabilidad de contener el coche de 2/3, entonces, si una tiene una probabilidad de 0, la otra debe tener una probabilidad de 2/3. La elección, básicamente, consiste en preguntarte si prefieres seguir con tu puerta original o escoger las otras dos puertas. La probabilidad de 2/3 se transpasa a la otra puesta no escogida (en lugar de dividirse entre las dos puertas restantes de modo que ambas tengan una probabilidad de 1/2) porque en ningún caso puede el presentador abrir la puerta escogida inicialmente. Si el presentador escogiese al azar entre las dos puertas con cabras (incluyendo la del concursante), abriese una de ellas y luego diese de nuevo a elegir, entonces las dos puertas restantes sí tendrían la misma probabilidad de contener el coche.

Una forma más clara de verlo es replantear el problema. Si en lugar de haber sólo tres puertas hubies e 100, y tras la elección original el presentador abriese 98 de las restantes para mostrar que tras de ellas hay cabras, si no cambiase su elección ganaría el coche sólo si lo ha escogido originalmente (1 de cada 100 veces), mientras que si la cambia, ganaría si no lo ha escogido originalmente (y por tanto es lo que resta tras abrir las 98 puertas), ¡99 de cada 100 veces!

[De Wikipedia, la enciclopedia libre]

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